关于过渡矩阵和坐标变换公式的思考

前言

​ 学习线性代数的时候一直很难理解过渡矩阵和坐标变换公式的概念，看到题目里求某向量在A基和B基下的坐标，除了蒙个公式上去几乎是无法思考。到了新学期，这些概念兜兜转转又回来了，是时候了结它们了。其实我思考的过程就是教科书上论述的过程，只是自己表述一遍会理解得更深刻一些。

过渡矩阵与坐标变换公式（数字的问题要用数字的方式解决）

​ （一点废话）之前有尝试用矩阵变换的方式理解过渡矩阵和坐标变换，一度陷入误区，后来发现是缘木求鱼了。其实这类抽象数字之间的关系还是用式子来理解最直接，可能等认识再深入才能体会这背后的几何关系吧。

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过渡矩阵

假设B基和A基是同一线性空间下两组不同的基向量（注意，是不同的两组向量），下示公式表示了A和B之间的关系

$$B=AP$$

其中，P被称为过渡矩阵。这个式子的含义实际上是用A基来表示B基，我们试图通过某种方式来找到A基和B基之间的联系，联系的推导过程如下：

$$B=EB=AA^{-1}B=AP\\P=A^{-1}B$$

通过单位阵变换我们可以很轻易的找到从A到B的表示方法，并把其中$A^{-1}B$ 的积矩阵定义为过渡矩阵$P$。其中没有什么复杂的变换，就是一个等式递推而已。

坐标变换公式

为什么过渡矩阵能和坐标变换公式扯上关系，这曾一度让我很费解。

设$\vec v$是该线性空间（A基和B基所在的线性空间，假设为n维）中的一个向量，把A基记为$(\vec a_1,\vec a_2,\dots,\vec a_n)$，B基记为$(\vec b_1,\vec b_2,\dots,\vec b_n)$

$\vec v$在A基下的坐标，也就是用A基（向量组）来线性表示$\vec v$时的系数们，用向量表示为$\vec x=
\left(
\begin{matrix}
x_1\
x_2\
\vdots\
x_n
\end{matrix}
\right)$

$\vec v$在B基下的坐标，也就是用B基（向量组）来线性表示$\vec v$时的系数们，用向量表示为$\vec y=
\left(
\begin{matrix}
y_1\
y_2\
\vdots\
y_n
\end{matrix}
\right)$

通过$\vec v$我们可以建立起$\vec x$和$\vec y$之间的关系,注意向量不同的横纵表示，这涉及乘法运算时的先后顺序

$$\because \vec v=A\vec x\\ \quad \vec v=B\vec y \\ \therefore A\vec x=B\vec y$$ $$\because B=AP\,(用A表示B，过渡矩阵在这里派上了用场)\\ \therefore A\vec x=AP\vec y\\ \therefore \vec x=P\vec y\\ \therefore \vec y=P^{-1}\vec x$$

这也就推导出了不同基下的坐标变换公式。