关于"线性映射的矩阵表示"的思考

线性映射是指一个线性空间通过某种变换映射到另一个线性空间（两个不同的向量空间）

$$F(V_1)=V_2$$

线性映射的矩阵表示则是借助每个空间的基向量来描述这种映射

设$V_1$空间下的一组基向量为$\vec \alpha=(\vec \alpha_1,\vec \alpha_2,\dots,\vec \alpha_n)$，$V_2$空间下的一组基向量为$\vec \beta=(\vec \beta_1,\vec \beta_2,\dots,\vec \beta_m)$

（通过一定的推导可得如下结论）

$$F(\vec\alpha)=\vec\beta A$$

称$A$为线性映射$F$在基$\vec\alpha$与基$\vec\beta$下的矩阵表示，这种描述方式可以解决像与原像之间同一向量的坐标关系

向量坐标变换公式：

$$\vec v=\vec\alpha \vec x\\ F(\vec v)=\vec\beta \vec y\\ \therefore F(\vec v)=F(\vec\alpha \vec x)=\vec\beta A\vec x\\ （因为是线性映射，所以作为常数的坐标x可以单独提出来）\\ \therefore \vec y=A \vec x\quad and \quad \vec x=A^{-1}\vec y$$

由公式可知当给定两组基底时，矩阵表示A是唯一确定的$A=(\vec\beta)^{-1}\vec\alpha$，也就是对于同一个线性映射，可能有多种矩阵表示的方法。

恒等映射（过渡矩阵最初被定义的那种情况）是线性映射的一个特例。在更广泛的线性映射中，A和B甚至都不一定是同一维度的。过渡矩阵P和线性映射中的A有着不同的内涵，理由如下：

过渡矩阵P描述了在同一线性空间（即恒等映射下）中不同基底之间的关系（用原基底表示新基底），只要两组基底确定，这种关系就是确定的。

矩阵表示A（线性映射的矩阵表示）则是描述了原线性空间的某个基底在线性映射之后得到的新向量组和新线性空间的某基底之间的关系（用新线性空间的基底表示原基底在该空间的映射），同样也是两组基底确定，矩阵表示A确定。

在恒等映射这一特例中，线性映射前后是同一个线性空间。也即是说$F(\vec v)=\vec v$，矩阵表示A的问题就简化成了过渡矩阵的那种情况，不过注意，过渡矩阵的定义是：用原基底表示新基底，这和矩阵表示A是相反的思路，所以在恒等映射时，有如下关系 ：

矩阵表示$A=(\vec\beta)^{-1}\vec\alpha$，过渡矩阵$P=(\vec \alpha)^{-1}\vec\beta$，它们是互逆的。

那么过渡矩阵P存在的意义是什么呢？不否认它很好推，该不会是个历史遗留问题吧……